Il y a peu je suis allée
au cinéma voir le film Nos étoiles contraires
adaptation du roman éponyme de John Green. Cette fois-ci, je n'ai
pas envie d'écrire une chronique sur ce film ou bien sur ce roman
(bien que cela pourrait se faire plus tard). En fait, pendant la
vision du film, une phrase prononcée par Hazel Grace m'a
interpellée. Il était question d'infinis, d'infinis plus grands que
d'autres. Paraphrasé cela donne : il y a une infinité de nombres
entre 0 et 1, il y a aussi une infinité de nombres entre 0 et 1 000
000 mais cet infini-là est plus grand.
Là,
j'ai eu envie de crier : « Mais non, c'est faux, il y a autant
de nombres entre 0 et 1 qu'entre 0 et 1 000 000 ; plus fort encore,
il y a plus de nombres entre 0 et 1 que de nombres naturels ! ».
J'avais toujours en tête mon cours d'algèbre linéaire. Je me
souviens qu'on avait montré par l'absurde en cours que l'ensemble
des réels compris dans l'intervalle [0, 1] n'est pas dénombrable ;
c'est-à-dire qu'on ne peut mettre en bijection chacun des éléments
réels de l'intervalle [0, 1] avec l'ensemble des naturels , soit
qu'il y a plus de nombres réels compris dans l'intervalle [0, 1] que
dans l'ensemble {0, 1, 2, 3, … }. Pour appuyer mes dires, voici une
capture de mon syllabus de cours :
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Eric
J.M.Delhez, Algèbre - Tome 2 : Mathématiques discrètes,
p192, Faculté des Sciences Appliquées, Université de Liège, Version
2013-2014
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Comme
j'aime la rigueur, j'aurais préféré avoir connaissance du texte
exact. Ni une ni deux, je me plonge dans le roman à la recherche de
ce passage qui m'intrigue. Voici l'extrait retrouvé :
“There
are infinite numbers between 0 and 1. There's .1 and .12 and .112 and
an infinite collection of others. Of course, there is a bigger
infinite set of numbers between 0 and 2, or between 0 and a million.
Some infinities are bigger than other infinities... I cannot tell you
how grateful I am for our little infinity. You gave me forever within
the numbered days, and I'm grateful.”
John
Green, The fault in our stars,
p147, Penguin, 2012
Maintenant
nous sommes enfin face à la formulation exacte issue du roman. Que
répondre à Hazel Grace? Oui, certains infinis sont plus grands que
d'autres mais il n'y a pas plus de nombres entre 0 et 2 qu'entre 0 et
1 !
Pour
ceux qui n'auraient vraiment rien compris voici une vidéo rigolote
intitulée How to count infinity (extraite
de la chaine Minute Physics
sur YouTube) qui couvre la thématique des tailles des infinis.
(Attention, ça va vite et c'est en anglais!) On commence par y
expliquer ce que signifie « compter ». Ensuite, on y
montre pourquoi il y a autant de nombre entre 0 et 1 qu'entre 0 et 2.
La deuxième moitié de la vidéo démontre d'une façon légèrement
différente que mon professeur d'algèbre qu'il y a plus de nombre
entre 0 et 1 que de nombres naturel. Enfin, les courageux qui auront
été attentifs jusqu'au bout pourront saisir le clin d'oeil à Hazel
Grace tout à la fin.
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